1、有理数和无理数统称为实数. 2、实数和数轴上的点是一一对应的 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 3、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 4、实数可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用． 实数理论 千百年来，数学爱们都在为整个数学寻找一个可靠的逻辑基础而不懈努力，然而分析的算术化，是以实数为基础的。
2、不弄清实数的本质,不给实数以明确的定义、建立实数大小、运算等理论，连续函数的性质就无法彻底弄清，甚至连柯西收敛准则的充分性也无法严格证明。
3、 这就迫使数学家们加快建立数学理论的步伐。
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4、 实数理论的核心问题是对无理数的认识，早在19世纪前期，柯西就已感到定义无理数的重要性。
5、他在《分析教程》中，把无理数定义为收敛的有理数列的极限，设{yn}是一列有理数，如果存在一个数y,yn-->y,那么y就是一个无理数。
6、 这个定义存在逻辑上的毛病。
7、因为有理数序列{yn}不收敛于无理数（即y为有理数），则定义不出无理数；不收敛于有理数，那得不承认y是无理数才行，才能定义它是无是数，这就犯了循环定义的错误。
8、 19世纪60年代末以后，出现了几种不同的无理数定义，分别出自维尔期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手，但不论他们定义实数的具体方法有何不同，都符合以下三个条件：第一，把不理数当作已知，从有理数出发定义无理数；第二，所定义的褛的性质及其运算律，与有理数所具有的一三，这样定义的实数是完备的，即在极限运算下不会再出现新数。
9、为了避免柯西理数定义中的错误，维尔斯特拉斯坚持了他的表态观点，曾引入"复合数"概念。
10、并用复合数定义有理数。
11、如3（2/3）由3α和2β组成，其中α=1是主要单位，元素β=1/3。
12、一个数已知它由什么元素组成，以及每个元素出现的次数时，就完全确定了，维尔斯特拉斯继而定义无理数如√2定义为1α，4β1γ----康托与梅雷定义的无理数基本相同，以有理数为出发点引进新数类----实数。
13、该数类包括有理数和无理数。
14、在褛理论建树中，戴德金的实数理论是最完整的。
15、人用有理数分割来定义实数这一思想来源于对直线连续性的考虑。
16、人和康托大致同时提出了实数集与直线上的点一一对应假设。
17、这一假设后来称为“康托-戴德金"公理，他想，直线上的有理点是不连续的，必然由无量数填补空位，才能使直线成为连续。
18、如何才能把这些补空位的无理数表示出来？戴德金用全体有理数的一个分割，来表示一个无理数。
19、 上面所说的几种无理数定义，都把有理数当作已知的，因为任何一个有理数，都可以写成两个整数之比，因此问题归结为整数。
20、那么对于整数需不需要再下定义呢？对这个问题也产生了分歧，维尔斯特拉斯就认为没必要，有理数逻辑地归为一对整数，对整数的逻辑无须做进一步研究。
21、 戴德金则不然，他在《数的性质与意义》一书中，利用集合论思想给出了一个整数理论，虽因过于复杂未被采用，却给皮亚诺以直接启示。
22、 1889年，意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》一书中，用公理方法给出了自然数理论，从而完成了整个数系逻辑化工作。
23、 皮亚诺出生于都灵，曾任都灵大学讲师和教授，是一位数理逻辑学家。
24、他不像逻辑主义者那样，主张把数学建立在逻辑上，而是主张把逻辑作为数学工具。
25、 皮亚诺在《算术原理方法》一书中，使用了一系列符号，如用∈，NO和a+分别表示属于、包含、自然数类和a的下一个自然数等；给出了四个不加定义的原始概念：集合，自然数，后继数和属于；还提出了自然数的五个公理： 1）1是自然数； 2）1不是任何自然数的后继数； 3）每个自然数a都不一个后继数a+; 4）如果a+=b+,则a=b; 5）如果s是一个含有1的自然数集合，且当s含有a时，也含有a+，则s含有全部自然数。
26、这个公理是数学归纳法的逻辑基础。
27、 接着，皮亚诺根据自然数定义整数：设a,b为自然数。
28、则数对（a,)即"a-b"定义整数。
29、当a>b,a/span> 有了整数概念，再通过有序对定义有理数：若n,m为整数，则有序对（n,m)(m<>0)即n/m定义一个有理数。
30、 这样，皮亚诺应用数学符号和公理方法，在自然数公理的基础上，简明扼要地建立起自然数系、整数系和有理数系。
31、当然用公理的、逻辑的方法构造出来的数系，使一数学家感到很不自然。
32、他们认为这是将本一清楚的概念"做了不可理解的推广，然而，实数理论的建立，谱写了19世纪数学史上辉煌的一章。
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